中国河图洛书与中国数学关系的建构与建构
杨辉算书在明代的影响很大。王文素《算学宝鉴》自序云受其影响，卷首刊载河图与洛书黑白点图。不过王氏河图总为55、洛书45，采朱子定式。其河图下有“求天数法”“求地数法”与“求总积法”，延续并扩展了杨辉算法。其洛书下增设“求积法”。之后王氏又给出数张汉字纵横图的求和、构造方法。（参见王文素，第347-348、352-355页）程大位《算法统宗》卷首亦刊载河图（55）洛书（45），并延续杨辉给出求和算法和构造方法。之后，程氏给出“伏羲则图作易”之“易有太极”“是生两仪”“两仪生四象”和“四象生八卦”四图，又有“洛书释数”“九宫八卦图”“洛书易换数”等内容。并在卷十七“杂法”刊载了多张易数纵横图及其求积、构造方法。（参见程大位，第1227-1228、1410-1415页）总之，王氏、程氏把黑白点河图洛书置于卷首，显示其与中国数学起源之关联，又把汉字数字表达的纵横图作为新的数学内容刊载于书。这显示出经过宋明约六百年的演变，河图洛书黑白点图与其衍生的纵横图均已在中国传统数学知识体系中获得了稳定的位置。
二、方中通对河图洛书与中国数学关系的建构
明清之际的方氏家族是安徽桐城地区最重要的易学世家。方学渐著有《易蠡》，其子方大镇著有《易意》和《野同录》。大镇之子方孔炤著有《周易时论》，是为方氏易学的代表作，孔炤之子方以智为此书作跋又加按语，并命方中德、方中通、方中履三子将前后稿整理成书，是为《周易时论合编》，方以智又编《图象几表》置于书前。《周易时论合编》之中，已有大量算学内容渗透进象数学。在此家学背景之下，方中通早年便对象数学和算学产生了兴趣。
朱伯崑认为《周易时论合编》进一步吸收了元明以来象数之学的成果，并在其基础上做出新的发展，终于完成了象数学派本体论的体系，是总结象数之学的重要著作。又说该书将象数之学推向极端，遭到王夫之、黄宗羲、黄宗炎、毛奇龄、胡渭等人的否定，标志着宋易象数流派的终结。（参见朱伯崑，第3卷，第348页）其实，方中通所撰《数度衍》对河洛象数之学亦有发展。但长期以来，该书被认为是一部数学著作（《四库全书》将之收入子部天文算法类），从而使得学者们不仅忽视了其易学贡献，而且未意识到该书是宋易象数之学在算学领域内的新发展。就此而言，该学派在方氏以后并未终结，而是从易学领域转换至算学领域。在易学与数学关系史上，《数度衍》占有十分重要的位置。
《数度衍》的象数学背景十分明显。是书家序“药地老人（即方以智）示”：“漆园《天下篇》曰：‘明于本数，系于末度。’吾谓数自有度。《易》曰‘制数度以议德行’，神自无方，准不可乱。舍日无岁，无内无外，秩序变化，原同一时，因其条理而付之中节之谓度。故曰：一在二中，物自献理，谁能惑我？然则数乃质耳，度也者，其大本之时几乎？泥于数则技，通于数则神。汝既知数，即可以此通神明、类万物矣。专精藏密，勉之勉之。”之后，方中德语说明了是书的写作目的和成书过程：“此大人见《数度衍》而勉二弟之语也。弟之所研极者，十余季矣。初大人庐墓合山，重编《时论》时，衍极数以示悳等，弟退即变数十图以进。大人喜甚，因命精数，弟遂发明勾股出于河图，加减乘除出于洛书。既而玩泰西诸书，乃合笔、筹、珠三法而穷差别于《九章》已。三弟得尺算一法，即以贻弟，复数昼夜而尽其变，可谓精矣。方弟之著是书，独处一室，废寝食而寒暑不缀。故宜其探赜索隐，钩深致远，莫不具也。”（参见方中通，第2556页）因此，《数度衍》是在《周易时论》的基础上，以“勾股出于河图，加减乘除出于洛书”来重构古代算学知识体系，由此将象数学与算学结合起来。
《数度衍》共8册，分别命之以八卦之名“乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑”，对应不同之算学内容。是书“凡例”云：“此书明勾股出于河图，加减乘除出于洛书。知一切不外河洛也，故首言其原。黄钟为数之始，故次律衍。线面体之理，尽于《几何》。故约之。至于历法别有专书。”又云：“西学精矣，中土失传耳。今以西学归《九章》，以《九章》归《周髀》。《周髀》独言勾股而《九章》皆勾股所生。故以勾股为首，少广次之，方田次之，商功次之，差分次之，均输次之，盈朒次之，方程次之，粟布次之。”（方中通，第2557页）据此调整了传统算学的《九章算术》结构，并增设了西方数学几何学的内容。这一体系的关键在于建立河图洛书与算学的关系。《数度衍》开篇“数原”就是解释“勾股出于河图，加减乘除出于洛书”。方中通云：九数出于勾股，勾股出于河图，故河图为数之原。《周髀》曰：“勾广三，股修四，径隅五。”天数二十有五，弦之开方也。河图之数五十有五，中五不用，用其五十，合勾自之、股自之、弦自之之数也。勾三，阳数也，居左。和弦而为八，故八与三同位。股四，阴数也，居右。和弦而为九，故九与四同位。弦五，勾股所求之数也，居中。勾弦较得二，居上。股弦较得一，居下。勾弦较与弦和为七，故七与二同位。股弦较与弦和为六，故六与一同位。弦居中，倍为十，而倍之之数不可用，故洛书不用十也。勾股左右，两较上下，四和四围，岂偶然哉！勾不尽于三，而始于三。股不尽于四，而始于四。弦不尽于五，而始于五。较不尽于一、二，而始于一、二。和不尽于六、七、八、九，而始于六、七、八、九。此勾股之原也。（同上，第2561页）
图5方中通河图
方中通解释“勾股出于河图”的总体思路是把河图中1至10这十个数字都与勾股数关联起来，从而说明河图中蕴含了勾股数（图5）。在《周髀算经》勾3（设为a）股4（设为b）弦5（设为c）的基础上，方氏以1为股弦较或勾股较（c-b或b-a），2为勾弦较（c-a），3、4、5为勾股弦（a、b、c），6为股弦较与弦和（c-b+c），7为勾弦较与弦和或勾股和（c-a+c或a+b），8为勾弦和（a+c），9为股弦和（b+c），10为两倍的弦（2c）。方氏又按易学传统，以奇数为阳（以白点表示）、偶数为阴（以黑点表示）。这些做法实质是把易学的黑白点表数与数学的线段表数等价起来，可视为杨辉做法的拓展。（参见朱一文，2020年，第99-100页）方氏云“天数二十五，弦之开方也”，即指25为弦平方（c2），然此处云“开方”是沿用了孔颖达、贾公彦等儒家算法传统的术语，实为“平方”，与传统算学之“开方”不同。（cf.Zhu,2016,p.23）河图总数为55（1+2+…+10=55），不用中间的弦5（方氏并未进一步解释原因），剩下50恰为勾方、股方、弦方之和（a2+b2+c2）。以此“勾股左右，两较上下，四和四围”的方式，勾股数与河图数完全对应起来，方中通认为这不可能是偶然形成的，是为“勾股之原也”。
总体来看，方氏以河图解释勾股数的做法融合了传统算学（《周髀算经》《九章算术》等）、儒家经学研究中的算学传统（如“开方”术语）和宋代图书之学。但又与南宋以降学者仅把河洛视作数学起源不同，方中通给出了具体的数理化联系，因此确可称之为“发明”。从数学史和易学史的角度看，方氏做法的核心是把河洛的黑白点与勾股的线段长度等价起来，从而融合了算学与易学两个相对独立的研究领域，并显示了其对于数学在本质上具有的统一性的认识和理解。
接着，方氏继续阐述加减乘除出于洛书：不用十而用九，河图变为洛书。加减乘除之数皆从洛生，而九数之用备焉。加者，并也。一阴一阳相并，而生阳为用。故一并六为七。七并二为九。九并四为十三，去十不用，所生为三。三并八为十一，去十不用，所生为一。数始于阳，阳故统阴。此加之原也。减者，去也。阴中去阳，则六去一为五，八去三为五。阳中去阴，则九去四为五，七去二为五。边去中存。此减之原也。
乘者，积也。除者，分也。一无积分，相对而为乘除者，仍为九焉。二与八对，二其八，八其二，所积皆十六。截东南三、四、九之数合矣。二分十六得八，八分十六得二。此二与八之互见也。三与七对，三其七，七其三，所积皆二十一。不用三下之八，七下之六，而一、二、四、五、九之数合矣。三分二十一得七，七分二十一得三，此三与七之互见也。四与六对，四其六，六其四，所积皆二十四。三八亦积二十四，不用三八，而一、二、五、七、九之数合矣。四分二十四得六，六分二十四得四，此四与六之互见也。五宜与十对，而洛书无十，故以中五乘四隅，所积之数，必止于十而无余。五乘二为一十，是为两方之数。［四正四隅两方相对皆十。］五乘四为二十，是为四方之数。［四正合为二十，四隅亦合为二十，两正两隅亦合为二十。］五乘八为四十，是为八方之数。［四正四隅合为四十。］五除十得二，五除二十得四，五除三十得六，五除四十得八。二除十，四除二十，六除三十，八除四十，皆五。即五与十之互见也。洛书无十，而十藏于中矣。足后反无余，不足然后足。此乘除之原也。（方中通，第2562-2563页）
图6方中通洛书
方中通解释“加减乘除出于洛书”的总体思路是揭示洛书各数字之间的运算关系，从而说明加减乘除实际已经蕴含在洛书之中。方氏各以四张图解释洛书各数字间的加法和减法关系（图6）。“加者，并也”。按洛书由底部白点逆时针做加法，则有1+6=7，7+2=9，9+4=13（“去十不用”取3），3+8=11（“去十不用”取1），由此可知洛书除中五外八数构成递进的加法关系，“此加之原也”。“减者，去也”。按洛书由底部顺时针做减法，则有6-1=5，7-2=5，9-4=5，8-3=5，由此可知，洛书除中五外八数两两相减均得中五，“此减之原也”。方氏又以四张图解释洛书各数字间的乘法和除法关系（图6）。“乘者，积也；除者，分也。”按洛书上下、左右、斜对角各做乘法，则有1×9=9,2×8（右上左下两数相乘）=16=3+4+9（左上角三数之和），3×7（左中右中二数相乘）=21=4+9+2+1+5（不用“三下之八”、“七下之六”，其余数之和），4×6（左上右下两数相乘）=24=9+2+7+5+1（不用“三”“八”，其余数之和）。“五宜与十对，而洛书无十”，因此以5×2=10（两方之数）=1+9=3+7=2+8=4+6，为上下、左右或斜对角两数之和。5×4=20（四方之数）=1+3+7+9（四正之和）=2+4+6+8（四隅之和），为四边或四角数之和。5×8=40（八方之数）=1+2+3+4+6+7+8+9（四正四隅之和），为四边与四角之和。除取乘之逆运算：9÷1=9,16÷2=8,16÷8=2,21÷3=7,21÷7=3,24÷4=6,24÷6=4。“此乘除之原也”。
从数学史的角度看，杨辉给出了三阶纵横图的构造原理，方氏进一步揭示了洛书各数字之间运算关系，亦体现了其对运算本质统一性的理解和认识。从运算工具看，明末以来大致有筹算、珠算和西方笔算等三种，方氏以黑白点来计算的做法实延续了易学传统。方中通在《数度衍》笔算章末尾提出“洛书算”，即“洛书用九，八卦旋中，加减升降，法异理同，九内易位，越十移宫河图洛书作者是谁，过去未来用之无穷”。（参见方中通，第2651-2652页）这说明方氏亦继承了汉末《数术记遗》“八卦算”等数术传统，并有所发展。
总之，方中通利用数理化的方式重构了河图与勾股数、洛书与加减乘除运算的关系。在中国传统数学的领域中，数与运算是最基本的知识。方氏将两者的起源推至河图洛书，使后者成为算学之基础。之后，方氏论述“《九章》皆勾股说”，把《九章算术》建立在勾股的基础上，并增设西方数学内容。（参见严敦杰，第53-54页）又论“四算说”云“泰西笔算筹算皆出于九九”；并在此后，引出“九九图说”，给出多张纵横图（大体沿用程大位《算法统宗》说）。（参见方中通，第2563-2567页）由此确定了纵横图在其算学体系中的位置。
值得注意的是，《数度衍》是一部百科全书式的著作，囊括了当时所有的数学知识（三角学属于历算，故不介绍）。因此，《数度衍》“数原”是从易学数理化的角度将河图洛书置于最基础的地位，并重新调整当时数学知识各分支的位置。依此设定算学为易学之分支——易学论数并产生算，进而以算学论算。方氏学说推进了邵雍“大衍之数，其算法之源乎”（《邵雍全集》，第1195页）的观点，使得图书之学成为算学的切实内容，是河图洛书与中国传统算学关系发展的重要阶段。从易学史的角度看，朱伯崑认为明清之际易学中的两大流派（即象数派和义理派）都各自出现了总结前人的代表性人物。方孔炤、方以智《周易时论合编》对以前的象数之学作一总结；王夫之等则对宋明以来义理学派及其哲学作一总结。（参见朱伯崑，第4卷，第11-12页）据此而言，方中通《数度衍》实为《周易时论合编》之发展。
三、结语
随着宋代图书之学的兴起，河图洛书与中国数学之起源发生关联，并引出算学家的纵横图研究。入明以后，随着朱子理学取得压倒性的地位，河图洛书在中国数学起源叙事系统中的经典地位逐渐被确立，河图洛书黑白点图和纵横图都逐渐成为算书不可或缺的内容。然而，两者与算学的实质关联尚未完全建立。明清之际，桐城方氏学派深研象数易学，方孔炤、方以智之《周易时论合编》已将传统算学纳入易学。方以智之子方中通精研中西数学与象数易学。在《周易时论》之基础上，发明“勾股出于河图”“乘除出于洛书”两说。由此把数学的基础建立在河图洛书之上，并重新调整了中西数学各分支的位置。这一做法一方面将宋儒邵雍关联数与算的观点推到一个前所未有的程度，另一方面又开辟了河洛之学在算学领域内的新发展。
从数学史的角度看，方中通《数度衍》重构了传统算学知识体系的结构，把河图洛书黑白点图、纵横图等都放置在基础的位置上，可视为秦九韶、杨辉等人之后继。从易学史的角度看，方氏进一步数理化了宋明以来的图书之学，把算学引入象数易学，可视为对朱熹、丁易东等人易学之发展。于是按照方氏的观点，含有数理解释的河图洛书、纵横图等内容应该同时出现在易学与算学著作中。方氏对数学统一性的认识既沿用了传统算学家的看法，又有所拓展。
清康熙年间，清廷编撰大型算学著作《数理精蕴》和大型易学著作《周易折中》。《数理精蕴》开篇“数理本原”即指出“粤稽上古河出图、洛出书”，并云“加减实出于河图，乘除殆出于洛书”。（参见《数理精蕴》，第12页）继而刊载河图、洛书黑白点图，阐述其中加减乘除道理。《周易折中·启蒙附论》云“河图加减之原，洛书乘除之原”，又刊载多张纵横图揭示数理，此解释与《数理精蕴》相同。（参见李光地，第1098页）与《数度衍》相比，尽管两书并未完全采纳“勾股出于河图，加减乘除出于洛书”之说，但阐明河洛如何成为数学的基础、如何与具体算法相关的做法和思路实与方中通相通。事实上，康熙三十一年（1692），皇帝即曾召见方中通次子方正珠，正珠“进父中通所著《数度衍》，并自著《乘除新法》，一时从学者奉为准绳”。（参见韩琦,2011年，第6-7页）《周易折中》以朱熹《周易本义》为纲领而杂采其他易说。（参见朱伯崑，第4卷，第4页）康熙皇帝对《周易》的兴趣有多方面的原因，其中易学与算学关联的纵横图是他邀请法国耶稣会士白晋（ ）研究《周易》的主因。（参见韩琦，2019年，第63页）因此，《数理精蕴》《周易折中》等官方著作不乏参用《数度衍》的可能。
清中叶皖派经学家江永撰《河洛精蕴》，被认为是清代汉学家中推崇图书之学的代表作。（参见朱伯崑，第295页）该书直云：“方圆内外之体象已藏于河图，勾股开方之算术悉具于洛书。”其卷六直以勾股解河洛。（参见江永，第3页）因此，虽然一般认为“《数度衍》一书在梅文鼎的大量著作及其影响之下只好为清初第二流的数学著作了，而方中通的工作因此也一直没有被清代后来一些数学家所重视”（严敦杰，第56-57页），但其实《数理精蕴》《周易折中》及清代之后的易学、算学研究很可能受到《数度衍》的影响，不过这个问题还需要进一步的确证。
参考文献：
[1]古籍：《周易》《左传》等。
[2]安止斋、何平子，1993年：《详明算法》，见《中国科学技术典籍通汇·数学卷一》，河南教育出版社。
[3]程大位，1993年：《算法统宗》，见《中国科学技术典籍通汇·数学卷二》，河南教育出版社。
[4]丁巨，1993年：《丁巨算法》，见《中国科学技术典籍通汇·数学卷一》，河南教育出版社。
[5]段垒垒，2011年：《试论中国传统数学的起源与功用观念的转变》，天津师范大学硕士学位论文。
[6]《二程集》，1981年，中华书局。
[7]方中通，1994年：《数度衍》，见《中国历代算学集成·中》，山东人民出版社。
[8]郭世荣，2002年：《方中通〈数度衍〉中所见的约瑟夫问题》，载《自然科学史研究》第1期。
[9]郭书春，2004年：《汇校〈九章算术〉》，辽宁教育出版社、台湾九章出版社。
[10]郭书春主编，2010年：《中国科学技术史·数学卷》，科学出版社。
[11]韩琦，2011年：《科学、知识与权力——日影观测与康熙在历法改革中的作用》，载《自然科学史研究》第1期。
2019年：《易学与科学：康熙、耶稣会士白晋与〈周易折中〉的编撰》，载《自然辩证法研究》第7期。
[12]何丙郁，1995年：《从科技史观点谈易数》，载《中国科技史论文集》，台湾联经出版事业公司。
2001年：《纵横图与〈大衍索隐〉》，载《何丙郁中国科技史论文集》，辽宁教育出版社。
[13]侯钢，2006年：《两宋易数及其与数学之关系初论》，中国科学院自然科学史研究所博士学位论文。
[14]黄龙吟，1993年：《算法指南》，见《中国科学技术典籍通汇·数学卷二》，河南教育出版社。
[15]江永，1774年：《河洛精蕴》，蕴真书屋。
[16]金福，1990年：《对明代数学思想的几点分析》，载李迪编[17]《数学史研究文集》（第一辑），内蒙古大学出版社、九章出版社。
[18]柯尚迁，1993年：《数学通轨》，见《中国科学技术典籍通汇·数学卷二》，河南教育出版社。
[19]黎靖德编，1986年：《朱子语类》，中华书局。
[20]李迪，1999年：《中国数学通史·宋元卷》，江苏教育出版社。
[21]李光地，2002年：《周易折中》，九州出版社。
[22]李俨，1927年：《中算家之纵横图（Magic ）研究》，载《学艺》第9期。
[23]李冶，1993年a：《测圆海镜》，见《中国科学技术典籍通汇·数学卷一》，河南教育出版社。
1993年b：《益古演段》，见《中国科学技术典籍通汇·数学卷一》，河南教育出版社。
[24]李忠达，2019年：《〈周易时论合编·图像几表〉的〈易〉数与数学：以〈极数概〉为核心》，载《清华学报》第3期。
[25]刘牧，1923年：《易数钩隐图》，见《正统道藏》第71册，上海涵芬楼影印。
[26]钱宝琮，1966年：《宋元时期数学与道学的关系》，载钱宝琮等编《宋元数学史论文集》，科学出版社。
[27]秦九韶，2010年：《数书九章》，见《四库提要著录丛书》子部第20册，北京出版社。
[28]《邵雍全集》，2015年，上海古籍出版社。
[29]《数理精蕴》，1993年，见《中国科学技术典籍通汇·数学卷三》，河南教育出版社。
[30]脱脱，1977年：《宋史》，中华书局。
[31]王荣彬，1990年：《丁易东对纵横图的研究》，载李迪编《数学史研究文集·第一辑》，内蒙古大学出版社、九章出版社。
[32]王文素，1993年：《算学宝鉴》，见《中国科学技术典籍通汇·数学卷二》，河南教育出版社。
[33]温海明，2000年：《朱熹河图洛书说的演变》，载《周易研究》第4期。
[34]吴敬，1993年：《九章算法比类大全》，见《中国科学技术典籍通汇·数学卷二》，河南教育出版社。
[35]吴文俊主编，2000年：《中国数学史大系》第7卷，北京师范大学出版社。
[36]萧萐父，1998年：《中国哲学史史料源流举要》，武汉大学出版社。
[37]徐君，2004年：《略论方中通“四算”研究及其特点》，载《内蒙古师范大学学报（自然科学版）》第1期。
[38]徐岳，1980年：《数术记遗》，见《宋刻算经六种》，文物出版社。
[39]严敦杰，1960年：《方中通〈数度衍〉评述》，载《安徽史学》第1期。
[40]杨辉，1994年a：《续古摘奇算法》，见《中国历代算学集成·上》，山东人民出版社。
1994年b：《详解九章算法》，见《中国历代算学集成·上》，山东人民出版社。
[41]杨玉星，2003年：《清代算学家方中通及其算学研究》，台湾师范大学数学系硕士学位论文。
[42]张永堂，1985年：《方孔炤〈周易时论合编〉一书的主要思想》，载《成功大学历史学报》第12期。
[43]朱伯崑，1995年：《易学哲学史》，华夏出版社。
[44]朱世杰，1993年：《四元玉鉴》，见《中国科学技术典籍通汇·数学卷一》，河南教育出版社。
[45]朱一文，2019年：《宋代的数学与易学——以〈数书九章〉“蓍卦发微”为中心》河图洛书作者是谁，载《周易研究》第2期。
2020年：《从宋代文献看数的表达、用法与本质》，载《自然辩证法研究》第12期。
[46]Zhu, Y.，2016,“ of in China from the of Root ”, in 43(1).
2020a：“On Qin 's ”, in for of Exact 74(4).
2020b：“How do We in Non- ? by Cases from 12th and 13th China”, in 52.
（原载于《哲学研究》2022年4期）
（首发在公众号《哲学研究》，转载时排版有改动）